悬臂杆独立参考测试

2026-10-03 · 本地测试 · 未修改或上传个人页面

结论

推荐以可伸长、无剪切的大挠度连续杆作为主参考。它与当前离散杆的伸长＋弯曲自由度最接近。在 0.5 N 下，200／300／500 节点端点相对误差为 0.6891%／0.4578%／0.2739%，呈一致的加密趋势。

500 节点：完整三维端点差值 0.8411 mm；中心线 RMS 差值 0.4975 mm。参考横向端点位移 301.8193 mm，离散杆为 302.6223 mm。

0.5 N：三维端点相对误差

参考模型	200 节点	300 节点	500 节点
可伸长、无剪切大挠度杆（推荐）	0.6891%	0.4578%	0.2739%
不可伸长 elastica	0.7096%	0.4791%	0.2966%
含剪切的平面 Cosserat	0.3324%	0.1020%	0.0813%
线性小挠度 Euler–Bernoulli	19.2378%	19.2760%	19.3081%

10 mN：三维端点相对误差

参考模型	200 节点	300 节点	500 节点
可伸长、无剪切大挠度杆（推荐）	0.7588%	0.5039%	0.3014%
不可伸长 elastica	0.7588%	0.5039%	0.3014%
含剪切的平面 Cosserat	0.3674%	0.1135%	0.0882%
线性小挠度 Euler–Bernoulli	0.8556%	0.6413%	0.4989%

为什么不直接选最小的 0.0813%

含剪切参考使用 GA = EA/[2(1+ν)] = 384.615 N、假设 ν = 0.3。这是额外的各向同性截面假设，并非当前杆模型中测得或定义的剪切刚度。原杆不包含剪切自由度，因此它不是严格匹配的参考。

0.5 N 下，剪切使参考端点相对无剪切参考移动约 1.0916 mm。这个模型差异部分抵消了当前离散误差，使对照数字变小：300 节点横向位移高于含剪切参考，而 500 节点低于它。应将此结果作为模型假设敏感性，不能据此声称准确率达到 99.92%。

不可伸长 elastica 是有价值的辅助验证，但忽略了有限 EA。线性 EB 在 0.5 N 下超出小挠度范围，约 19% 是理论模型差异，不是离散杆精度。

测试协议

共同条件：自由长度 L=1 m、EA=1000 N、B=0.5 N·m²；零重力；方向固定的末端力 F(0,0.6,−0.8)，不是随杆转动的跟随力。
夹持位置为离散杆固定节点 1，节点总数包含两个固定节点；没有平移参考夹持点、拟合刚度或调整载荷来降低误差。
复用上一轮已保存的六组 DER 平衡坐标，本轮重新检查其内力残差；本轮新求解独立连续参考。不是重新运行六组 DER，也不是重新运行 MATLAB 原文件。
无剪切/不可伸长/含剪切参考用 Python 连续静力方程实现。含剪切方案是平面 Cosserat 方程，不是已经复现的第三方 MATLAB 原脚本。
原始杆在当前载荷下为平面平衡，旋转回三维坐标比较。结果不证明任意空间弯曲、扭转、动力学或接触精度。

独立参考的数值检查

采用四阶配点边值求解，容差由 10⁻⁸ 收紧到 10⁻¹¹；同时以 DOP853 初值积分＋根弯矩射击独立求解。参考验收要求：两档容差以及两种求解方法的位置差均小于 10⁻⁹ m，边界残差小于 10⁻¹⁰。全部六组非线性参考通过；最大容差加密位置变化为 8.809e-11 m。

不可伸长方案另用弹性线一阶积分和端点积分求积交叉检查；含剪切方案还通过 GA→∞ 极限与无剪切解的一致性检查。不同求解器对相同方程的一致性不是独立物理验证。

方程与误差定义

在载荷平面内，以未变形材料坐标 S 参数化，状态为转角 θ、弯矩 M、轴向位置 x 和横向位置 w：

λ = 1 + F sin(θ)/EA       γ = F cos(θ)/GA
x′ = λ cos(θ) − γ sin(θ)
w′ = λ sin(θ) + γ cos(θ)
θ′ = M/B                 M′ = −F x′
θ(0)=0, x(0)=w(0)=0, M(L)=0
三维位置 = (x, 0.6w, −0.8w)

无剪切设 1/GA=0；不可伸长再设 1/EA=0。连续本构及边界条件先确定，未根据 DER 结果调参。

端点相对误差 = ‖r_DER(L) − r_ref(L)‖ / ‖r_ref(L) − r_rest(L)‖
中心线 RMS = sqrt[ (1/L) ∫ ‖r_DER(S) − r_ref(S)‖² dS ]

三维向量差包含轴向缩短；中心线按相同材料坐标对齐，用共同 2001 点网格、分段线性 DER 插值及梯形积分。没有使用逐分量相对误差，也没有做刚体最佳对齐。

适合报告的表述

For a 1 m cantilever under a 0.5 N transverse tip load, the 200-, 300-, and 500-node rod solutions showed tip-displacement differences of 0.689%, 0.458%, and 0.274% relative to an independently solved extensible, unshearable geometrically nonlinear rod reference. At 500 nodes, the centerline RMS difference was 0.497 mm. These results demonstrate resolution-dependent numerical agreement for this static benchmark.

这段限定为单一静态基准，不应扩大为普遍物理精度结论。建议主表采用匹配参考，辅助表保留不可伸长、含剪切和线性参考结果。

来源与复现

完整误差 CSV · 参考解收敛检查 · DER 输入残差复核 · 文件哈希与环境 · 测试脚本

OPENBLAS_NUM_THREADS=1 python test_references.py
python build_report.py